POLA BILANGAN DAN GENERALISASI

A.    PENALARAN

Penalaran merupakan suatu kegiatan, suatu proses atau suatu aktivitas berpikir untuk menarik suatu kesimpulan atau membuat suatu pernyataan baru yang benar berdasarkan pada beberapa pernyataan yang kebenarannya telah dibuktikan atau diasumsikan sebelumnya.


  1.      Penalaran Induktif
Penalaran induktif adalah proses penalaran dari hal-hal khusus ke hal-hal yang umum.Generalisasi merupakan salah satu bagian dari penalaran induktif. Generalisasi adalah penalaran yang menyimpulkan suatu konklusi yang bersifat umum dari premis-premis yang berupa proposisi empirik .generalisasi meliputi mengobservasi pola, membuat hubungan yang mungkin dan formulasi konjektur. Generalisasi merupakan suatu proses penalaran yang bertolak dari sejumlah fenomena individual (khusus) menuju kesimpulan umum yang mengikat selutuh fenomena sejenis dengan fenomena individual yang diselidiki.

Jadi, dalam kasus ini untuk menentukan atau membuat pola bilangan kita menggunakan teknik penalaran induksi yaitu generalisasi.

2.      Penalaran Deduktif

Penalaran deduktif adalah proses penalaran dari pengetahuan prinsip atau pengalaman yang umum yang menuntun kita memperoleh kesimpulan untuk sesuatu yang khusus.

B.     POLA BILANGAN

1.     Pengertian Pola Bilangan Matematika

Pola bilangan matematika adalah susunan dari beberapa angka yang dapat membentuk pola tertentu.Misalnya pada kalender terdapat susunan angka-angka baik mendatar, menurun, diagonal (miring).

2.      Membuat Pola Bilangan

Untuk memecahkan suatu masalah, harus lebih dahulu benar-benar memahami masalahnya. Kemudian menuliskan apa yang diketahui dan apa yang harus dicari dari masalah tersebut. Selanjutnya membuat pola jawaban dari masalah tersebut sudah memenuhi syarat-syarat yang ditentukan atau belum.Jika satu pola dapat diketahui dari sekumpulan data atau dengan melakukan manipulasi data, maka kita dapat menggunakan pola tersebut untuk menyelesaikan masalah yang harus dipecahkan. Perhatikan contoh berikut:

Contoh :

1.         Diberikan beberapa persegi yang disusun mulai 1 persegi, 4 persegi, 9 persegi dan 16 persegi. Persegi tersebut diberikan dua warna.putih dan hitam seperti tampak pada gambar berikut:

Berapa banyak persegi warna putih dan persegi warna hitam jika diberikan n persegi? Penyelesaian masalah ini dilakukan dengan membuat pola dari data yang ada.Selanjutnya dipilah persegi warna putih dan persegi warna hitam. Seperti dalam daftar pola berikut:

No	Banyak Persegi	Persegi Putih	Persegi HItam
1	1	1	0
2	4	1	3
3	9	4	5
4	16	9	7
.	.	.	.
.	.	.	.
.	.	.	.
n	n2	(n-1)2	2n – 1

3.      Jenis-jenis Pola Bilangan.

a.    Pola bilangan ganjil

Pola bilangan ganjil memiliki pola 1, 3, 5, 7, 9 ….

Barisan bilangan ganjil adalah 1,3, 5, 7, 9, …

Deret bilangan ganjil adalah 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + ….

Rumus mencari suku ke ke-n adalah Un = 2n – 1

Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2

Berikut adalah gambar pola dari bilangan ganjil

b.      Pola bilangan genap

Pola bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, …..

Barisan bilangan genap adalah 2, 4, 6, 8, 10, ….

Deret bilangan genap adalah 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + …..

Rumus untuk mencari suku ke-n adalah Un = 2n

Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = n2 + n

Gambar pola bilangan genap adalah sebagai berikut

c.      Pola bilangan segitiga

Pola bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..

Barisan bilangan segitiga adalah 1, 3, 6, 10, 15, 21, …..

Deret bilangan segitiga adalah 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + 21 + …..

Rumus mencari suku ke-n adalah Un = ½ n (n + 1 )

Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Gambar pola bilangan segitiga adalah sebagai berikut

d.     Pola bilangan persegi

Pola bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..

Barisan bilangan persegi adalah 1, 4, 9, 16, 25, …..

Deret bilangan persegi adalah 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + ……

Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n2

Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/6 n ( n + 1 ) ( 2n + 1 )

Gambar pola bilangan persegi adalah sebagai berikut

e.     Pola bilangan persegi panjang

Pola bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……

Barisan bilangan persegi panjang adalah 2, 6, 12, 20, 30, ……

Deret bilangan persegi panjang adalah 2 + 6 + 12 + 20 + 30 + …..

Rumus mencari suku ke-n adalah Un = n ( n + 1 )

Rumus mencari jumlah n suku pertama adalah Sn = 1/3 n ( n + 1 ) ( n + 2 )

Gambar pola bilangan persegi panjang adalah sebagai berikut

f.      Pola bilangan segitiga pascal

Rumus mencari jumlah baris ke-n adalah 2n – 1

Gambar pola bilangan segitiga pascal adalah sebagai berikut

g.     Pola bilangan Fibonacci

Pola bilangan fibanocci adalah pola bilangan dimana jumlah bilangan setelahnya merupakan hasil dari penjumlahan dari dua bilangan sebelumnya.

Pola bilangan Fibonacci adalah 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …..

2 diperoleh dari hasil 1 + 1 3 diperoleh dari hasil 2 + 1, 5 diperoleh dari hasil 3 + 2 dan seterusnya

Rumus mencari suku ke-n adalah Un = Un – 1 + Un - 2

h.     Pola bilangan pangkat tiga

Pola bilangan pangkat tiga adalah pola bilangan dimana bilangan setelahnya merupakan hasil dari pangkat tiga dari bilangan sebelumnya

Contoh pola bilangan pangkat tiga adalah 2, 8, 512, 134217728, …..

Keterangan : 8 diperoleh dari hasil 2 pangkat tiga, 512 diperoleh dari hasil 8 pangkat tiga, dan seterusnya

i.        Pola bilangan aritmatika

Pola bilangan aritmatika adalah pola bilangan dimana bilangan sebelum dan sesudahnya memiliki selisih yang sama.

Ø  Barisan Aretmatika atau Barisan Hitung adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara menambah atau mengurangi dengan suatu bilangan tetap. Dari definisi di atas, diperoleh hubungan sebagai berikut :

U₁ = a

U₂ = U₁ + b = a + b

U₃ = U₂ + b = a + b + b = a + 2b

U₄ = U₃ + b = a + 2b + b = a + 3b

.

.

U_n = U_n-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b

U_n = a + (n – 1 )b

Dengan n = 1, 2, 3,..

Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :

U₂ = U₁ + b => b = U₂ - U₁

U₃ = U₂ + b => b = U₃ - U₂

U₄ = U₃ + b => b = U₄ - U₃

.

.

.

U_n= U_n-1 + b => b = U_n - U_n-1

Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.

Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik

Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun

Ø  Deret Aritmatika adalah jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari barisan aritmatika.

Bentuk umum:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ +….. U_n

S_n =

S_n =

J. Pola Bilangan Geometri

Pola bilangan geometri adalah bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari perkalian suku sebelumnya.

Ø  Barisan Geometri atau Barisan Ukur

Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang tiap sukunya diperoleh dari suku sebelumnya dengan mengalikan atau membagi dengan suatu bilangan tetap

Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :

U₁ = a

U₂ = U₁ . r = ar

U₃ = U₂ . r = ar²

U₄ = U₃ . r = ar³

U_n = Un-₁ . r = ar^n-1

1. U_n= r × U_n-1 atau

2. U_n= a × r^n-1

Dengan: r = rasio atau pembanding

n = bilangan asli

a = suku pertama

Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau turun.

Bila r > 1 maka barisan geometri naik.

Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.

Ø  Deret Geometri adalah jumlah yang ditunjuk untuk suku-suku dari barisan geometri.

Bentuk umum:

S_n = U₁ + U₂ + U₃ +….. U_n

S_n =  ; r < 1

S_n =  ; r > 1

CONTOH SOAL HIGH ORDER THINKING